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By Dietlinde Lau

ISBN-10: 3540203974

ISBN-13: 9783540203971

ISBN-10: 3540723641

ISBN-13: 9783540723646

ISBN-10: 3540725539

ISBN-13: 9783540725534

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. In diese mathematischen Teilgebiete führt Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs umfassend ein. Dabei ermöglichen klar herausgearbeitete Lösungsalgorithmen, viele Beispiele und ausführliche Beweise einen raschen Zugang zum Thema. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben hilft bei der Erarbeitung des Stoffs und zeigt darüber hinaus, welche unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten es gibt. Die three. Auflage wurde korrigiert und erweitert.

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Aii .... f¨ ur alle i ∈ N. Also ist (0, 1) nicht abz¨ ahlbar. 7 Seien A und B Mengen mit A = ∅ und B enthalte mindestens zwei Elemente. Außerdem sei die Menge aller Abbildungen von A in B mit B A bezeichnet. Dann gilt |A| < |B A |. ) Beweis. Da |B| ≥ 2, findet man in B zwei verschiedene Elemente α und β. Jedem a aus A kann man dann eineindeutig die Abbildung fa : A −→ B mit 34 1 Mathematische Grundbegriffe j α f (x) := β f¨ ur x = a, sonst zuordnen. Folglich gibt es eine bijektive Abbildung von A auf eine echte Teilmenge von B A .

Falls f nicht nur den Wert 0 annimmt, xa1 1 · xa2 2 · . . · xann . f (x1 , . . ,an )=1 (Obige Formeln besagen, daß f¨ ur jedes Tupel (a1 , . . , an ) ∈ {0, 1}n die Kon” junktion“ f (a1 , . . , an ) ∧ xa1 1 ∧ . . ∧ xann bzw. xa1 1 ∧ . . ∧ xann aufgeschrieben wird. Anschließend werden dann diese Konjunktionen durch ∨ miteinander verkn¨ upft. 1 verzichtet werden (siehe dazu auch Kapitel 2). Es sei bemerkt, daß die disjunktive Normalform nur eine von vielen M¨oglichkeiten ist, s¨ amtliche Booleschen Funktionen durch eine gewisse Formelstruktur zu beschreiben.

Betrachtet man speziell die Aquivalenzrelation 20 1 Mathematische Grundbegriffe R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (0, 2), (2, 0)} auf A = {0, 1, 2}, so ist die zu R geh¨ orende Zerlegung der Menge A: A1 = {0, 2}, A2 = {1}. Mit Hilfe von A1 , A2 kann man auch wieder zur Relation R gelangen, indem man {(a, b) ∈ A2 | {a, b} ⊆ A1 ∨ {a, b} ⊆ A2 } (= R) bildet, womit man von R zu einer Zerlegung und von dieser Zerlegung wieder zu R gelangen kann. 2 (Hauptsatz u ¨ber Aquivalenzrelationen) Sei A eine nichtleere Menge.

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